知豆号二阶微分方程及其解法？
操作方法
01
1.二阶常系数齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0
特征方程r2+pr+q=0的两根为r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解
两个不相等的实根r1,r2 y=C1er1x+C2er2x
两个相等的实根r1=r2 y=(C1+C2x)er1x
一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
02
2.1.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
一般形式: y”+py’+qy=f(x)
先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)
则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解
求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:
① f(x)=Pm(x)eλx型
令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数
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2.2.②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型
令y*=xkeλx［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数
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有关微分方程的题目有很多，不可能一一列举出来，但我们可以掌握方法，开拓思维，这样我们的高数才会得以提高。
延伸阅读
二阶齐次线性微分方程的定义？
二阶齐次线性微分方程
二阶线性微分方程的一般形式为
ay”+by’+cy=f(x)
[其中系数a,b,c及f(x)分别是常数和自变量x的函数。]
函数f(x)称为函数的自由项。
若f(x)≡0,则
ay”+by’+cy=0
称为二阶线性齐次微分方程；
若f(x)≠0,则
ay”+by’+cy=f(x)
称为二阶线性非齐次微分方程。
二阶线性微分方程的特解公式？
二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y”+py’+qy=f(x)，其特解y*设法分为：1.如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式；2.如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。
1二阶常系数齐次线性微分方程
标准形式
y″+py′+qy=0
特征方程
r^2+pr+q=0
通解
1.两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
2.两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)
3.一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
2特解y*设法
1、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。
若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ=0；因为Qm(x)与Pn（x）为同次的多项式，所以Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。
比如如果Pn（x）=a（a为常数），则设Qm(x)=A（A为另一个未知常数）；如果Pn（x）=x，则设Qm(x)=ax+b；如果Pn（x）=x^2，则设Qm(x)=ax^2+bx+c。
若0是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=1，λ=0，即y*=x*Qm(x)。
若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，λ=0，即y*=x^2*Qm(x)。
2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。
若α不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=0，即y*=Qm(x)*e^αx，Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。
若α是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=1，即y*=x*Qm(x)*e^αx。
若α是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，即y*=x^2*Qm(x)*e^αx。
3、如果f(x)=[Pl（x）cos(βx)+Pn（x）sin(βx)]e^αx，Pl（x）为l阶多项式，Pn（x）为n阶多项式。
若α±iβ不是特征值，在令特解y*=x^k*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k=0，m=max{l,n}，Rm1(x)与Rm2(x)设法要根据Pl（x）或Pn（x）的情况而定（同Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定的原理一样）。
即y*=[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx
若α±iβ不是特征值，在令特解y*=x^k*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k=1，即y*=x*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx。
二次微分方程通解公式？
y”+a1y’+a2y=0，其中a1、a2为实常数。
对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y’，y”)=0。在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。
二阶微分方程的3种通解公式？
举一个简单的例子：
y”+3y’+2y = 1 (1)
其对应的齐次方程的特征方程为：
s^2+3s+2=0 (2)
因式分解： (s+1)(s+2)=0 (3)
两个根为： s1=-1 s2=-2 (4)
齐次方程的通解：
y1=ae^(-x)+be^(-2x) (5)
非奇方程(1)的特解：
y* = 1/2 (6)
于是（1）的通解为：
y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x) (7)
其中：a、b由初始条件确定。
二阶微分方程的解？
求2y”+y’-y=0通解，特征方程2r2+r-1=0， (2r-1)(r+1)=O, r=1/2r=-1, `?#Y=C1 e(x/2)+C2 e(-x), 1不是特征根，设原方程特解y*=Ae^X，则y*’=y*”=Ae’x, 1tà2Ae’x=2e’x, A=1, tXy*=еЛx，通解为y=Y+y*。
二阶微分方程的3种特解？
第一种：两个不相等的实根：y=C1e^（r1x）+C2e^（r2x）。第二种：两根相等的实根：y=（C1+C2x）e^（r1x）。第三种：一对共轭复根：r1=α+iβ，r2=α-iβ：y=e^（αx）*（C1cosβx+C2sinβx）。
拓展：二阶常系数线性微分方程是形如y”+py’+qy=f（x）的微分方程，其中p，q是实常数。 自由项f（x）为定义在区间I上的连续函数，即y”+py’+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
二阶微分方程表达式？
对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，我们就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y’，y”)=0。在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。
中文名
二阶（常）微分方程
外文名
Second-order (Ordinary) Differential Equation
时间
大致与微积分同时产生
